有理數(shù)的定義是什么意思(有理數(shù)是什么意思)

有理數(shù)的概念 數(shù)學(xué)是科學(xué)之王。 ——高斯 模塊一 正數(shù)和負(fù)數(shù) 模塊二 有理數(shù)的概念及分類(lèi) 模塊三 數(shù)軸 模塊四 相反數(shù)&倒數(shù) 模塊五 絕對(duì)值第一講 1 第一講 有理數(shù)的概念 筆 記 區(qū) ——用科技推動(dòng)教育進(jìn)步 一、正數(shù)和負(fù)數(shù) 在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，從發(fā)現(xiàn)自然數(shù)開(kāi)始，隨著人類(lèi)文明進(jìn)步，我們又逐漸定義了分?jǐn)?shù)和小數(shù)等.在生活和學(xué)習(xí)中，我們會(huì)需要記錄一些具有相反意義的量，比如：零下4?C和零上6?C，收入20元和支出30元，向東30米和向西100米等等．這些數(shù)據(jù)不僅意義相反，而且表示一定的量，為了表示它們，我們定義了正負(fù)數(shù)： 1．用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量： 我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種與它具有相反意義的量規(guī)定為負(fù)的，分別用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示，給數(shù)字前面加上正號(hào)表示正數(shù)，加上負(fù)號(hào)表示負(fù)數(shù)． 【例】以上幾個(gè)例子分別記為：4??C和6??C，20?元和20?元，30?米和100?米. 2．正數(shù)：像30、 6、12、?這樣的數(shù)叫做正數(shù)，正數(shù)都大于零； 3．負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上“?”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，比如：20?、3.14?、0.001?、172?． 【注】①表示正數(shù)時(shí)，“ ”號(hào)可以省略，但表示負(fù)數(shù)時(shí)，“?”號(hào)一定不能省略； ②數(shù)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)． 二、有理數(shù)的概念及分類(lèi) 1．有理數(shù)：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)． 2．有理數(shù)的分類(lèi)： （1）有理數(shù)按性質(zhì)分類(lèi)： ????????????????????正整數(shù)自然數(shù)整數(shù)零有理數(shù)負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù) （2）有理數(shù)按符號(hào)分類(lèi) ?????????????????正整數(shù)正有理數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)零（既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)）負(fù)整數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù) （3）小數(shù)的分類(lèi) 【注】注意以下幾個(gè)概念的區(qū)分： 非負(fù)數(shù)：正數(shù)和零；非正數(shù)：負(fù)數(shù)和零； 非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和零；非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和零； 非負(fù)有理數(shù)：正有理數(shù)和零；非正有理數(shù)：負(fù)有理數(shù)和零． ????????有限小數(shù)小數(shù)無(wú)限循環(huán)小數(shù)無(wú)限小數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)——不可化成分?jǐn)?shù)，是無(wú)理數(shù) ——可化成分?jǐn)?shù)，是有理數(shù) 2 初一數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班 筆 記 區(qū) ——用科技推動(dòng)教育進(jìn)步 三、數(shù)軸 1．?dāng)?shù)軸：數(shù)軸是一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線． 【注】原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度稱(chēng)為數(shù)軸的三要素； ①原點(diǎn)：表示數(shù)0的點(diǎn)； ②正方向：數(shù)字從小到大排列的方向，一般規(guī)定向右為正方向； ③單位長(zhǎng)度：人為規(guī)定的代表“1”的線段的長(zhǎng)度. 2．?dāng)?shù)軸的畫(huà)法 （1）畫(huà)一條水平直線； （2）在這條直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn)； （3）一般用箭頭表示正方向； （4）選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫(huà)出刻度，并將數(shù)字對(duì)應(yīng)標(biāo)在數(shù)軸下方． 【例】一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)軸： 【注】畫(huà)數(shù)軸的常見(jiàn)錯(cuò)誤： ①三要素缺失：沒(méi)有原點(diǎn)、正方向箭頭或者單位長(zhǎng)度刻度； ②單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一：相鄰兩個(gè)刻度之間間距不一樣； ③方向不統(tǒng)一：數(shù)字增大的方向不是正方向，或者數(shù)字排列混亂． 一些錯(cuò)誤的數(shù)軸示例： 錯(cuò)誤類(lèi)型 錯(cuò)誤示例 三要素缺失 單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一 方向不統(tǒng)一 3．?dāng)?shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系 ①任何一個(gè)有理數(shù)均可用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示； 但數(shù)軸上的點(diǎn)不一定代表有理數(shù)，比如?． ②數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大； ③數(shù)軸直觀地說(shuō)明了，正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)． 4．?dāng)?shù)軸與數(shù)學(xué)思想 ①數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)軸形象地反映了數(shù)和點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系； ②分類(lèi)討論思想：數(shù)軸表現(xiàn)了有理數(shù)的一種分類(lèi)方法，即分成正數(shù)、負(fù)數(shù)和零． 四、相反數(shù)&倒數(shù) 1．相反數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱(chēng)其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．特別地，0的相反數(shù)是0． 【例】5?與5?互為相反數(shù)；5?是5?的相反數(shù)； 【注】相反數(shù)必須成對(duì)出現(xiàn)，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說(shuō)是相反數(shù).“5?是相反數(shù)”是錯(cuò)誤的. 2．相反數(shù)的性質(zhì)： （1）代數(shù)性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則0ab??；反之，若0ab??，則a與b互為相反數(shù)． （2）幾何性質(zhì)：一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，即這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的． 2??1?012 02 1?01 012 2?01 123 1?01 201 101? 101? 3 第一講 有理數(shù)的概念 筆 記 區(qū) ——用科技推動(dòng)教育進(jìn)步 3．倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)． 【例】2與12，3?與13?，38?與83?． 4．負(fù)倒數(shù)：乘積為1?的兩個(gè)有理數(shù)互為負(fù)倒數(shù)． 【例】2與12?，3?與13，38?與83． 【注】①0沒(méi)有倒數(shù)，也沒(méi)有負(fù)倒數(shù)； ②倒數(shù)是它的本身的數(shù)1或??． 五、絕對(duì)值 1．絕對(duì)值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作a． 2．絕對(duì)值運(yùn)算：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0． (0)0(0)(0)aaaaaa?????????? 3．絕對(duì)值的性質(zhì)： （1）非負(fù)性：| | 0a?； （2）雙解性：若| | | |ab?，則ab?或ab??． 【注】如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為0． 例如，若| | | | | |abc? ? ? ?，則a??，b??，c??． （1）仔細(xì)思考以下各對(duì)量： ①勝二局與負(fù)三局； ②氣溫為3C??與氣溫升高30 C?； ③盈利5萬(wàn)元與虧損5萬(wàn)元； ④增加10%與減少20%． 其中具有相反意義的量有（ ） A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì) （2）①我國(guó)現(xiàn)采用國(guó)際通用的公歷紀(jì)年法，如果我們把公元2017年記作 2017年，那么，處于公元前500年的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期可表示為_(kāi)__________． ②如果80m表示向東走80m，那么60 m?表示________________． ③A，B兩地海拔高度分別是120米，10?米，則B地比A地低________米． （3）學(xué)而思飲料公司生產(chǎn)的一種瓶裝飲料外包裝上印有“600 30(ml)?”字樣，請(qǐng)問(wèn)“600 30(ml)?”是什么含義？質(zhì)檢局對(duì)該產(chǎn)品抽查5瓶，容量分別為603ml，611ml，589ml，573ml，627ml，問(wèn)抽查產(chǎn)品的容量是否合格？ 模塊二 有理數(shù)的概念及分類(lèi) 例題1 模塊一 正數(shù)和負(fù)數(shù) 4 初一數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班 筆 記 區(qū) ——用科技推動(dòng)教育進(jìn)步 （1）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） A．0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù) B．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)整數(shù) C．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù) D．正有理數(shù)包括正整數(shù)和正分?jǐn)?shù) （2）把下列各數(shù)分別填在所屬分類(lèi)里： 5?，0，3.14?，32，2.4?，227，327，?，5.5?，.??&，311?，3.14159，34?，2003 ①正數(shù)：{ }； ②負(fù)數(shù)：{ }； ③非負(fù)整數(shù)：{ }； ④分?jǐn)?shù)：{ }； ⑤非正有理數(shù)：{ }； （3）在下表適當(dāng)?shù)目崭窭锎蛏稀啊獭碧?hào)． 整數(shù) 分?jǐn)?shù) 正數(shù) 負(fù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù) 非負(fù)數(shù) 非負(fù)整數(shù) 無(wú)理數(shù) 0 .?? ? ?? .?? ?? ?? .? ??& π 98? （1）下面圖形是數(shù)軸的是（ ） A． B． C． D． （2）如圖所示，數(shù)軸的一部分被墨水污染了，被污染的部分內(nèi)含有的整數(shù)為_(kāi)______． （3）已知：點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)B也在數(shù)軸上，且A、B兩點(diǎn)之間的距離是2，則點(diǎn)B表示的數(shù)是______． 例題3 模塊三 數(shù)軸 例題2 123?2?01?3 122?1?0 123 2?1?012 1.3?2.6 A3?O 5 第一講 有理數(shù)的概念 筆 記 區(qū) ——用科技推動(dòng)教育進(jìn)步 ab0 （4）在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù)：0，4.2-，132，2-， 7，113，并用“<”連接． （1）一個(gè)點(diǎn)沿著數(shù)軸的正方向從原點(diǎn)起移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度后，又向反方向移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度，則這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是__________． （2）一個(gè)小蟲(chóng)在數(shù)軸上先向右爬2個(gè)單位，再向左爬6個(gè)單位，所在位置正好距離數(shù)軸原點(diǎn)2個(gè)單位，則小蟲(chóng)的起始位置所表示的數(shù)是________． （3）數(shù)軸上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是1?，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著數(shù)軸向右以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度爬行至B點(diǎn)后，用2秒的時(shí)間吃光了B點(diǎn)處的蜜糖，又沿原路以原速度返回A點(diǎn)，共用去6秒，則螞蟻爬行的路程是幾個(gè)單位長(zhǎng)度？B點(diǎn)與A點(diǎn)的距離是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？ （1）2017?的相反數(shù)是________，2017與________互為相反數(shù)． （2）已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示如圖，則a、b、a?、b?的大小，正確的是（ ） A．a(chǎn)bab? ? ? ? ? B．a(chǎn)bba? ? ? ? ? C．baab? ? ? ? ? D．a(chǎn)bba? ? ? ? ? （3）下列說(shuō)法正確的是（ ） A．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù) B．?和.?? ??互為相反數(shù) C．所有的有理數(shù)都有相反數(shù) D．13和31互為相反數(shù) 例題5 模塊四 相反數(shù)&倒數(shù) 例題4 7?6?5?4?3?2?1?01234567 6 初一數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班 筆 記 區(qū) ——用科技推動(dòng)教育進(jìn)步 我們可以用字母表示數(shù)，比如a、b都能代表一個(gè)數(shù)，在一個(gè)數(shù)的前面添上“?”號(hào)，就得到這個(gè)數(shù)的相反數(shù)． （1）5的相反數(shù)是_______；13的相反數(shù)是_______，0的相反數(shù)是_______，數(shù)a的相反數(shù)是________； （2）5?的相反數(shù)是_______，12?的相反數(shù)是________，4?的相反數(shù)是________；數(shù)a?的相反數(shù)是________； （3）( 2)??的相反數(shù)是________；( 5)??的相反數(shù)是________，數(shù)()a??的相反數(shù)是________，數(shù)()a??的相反數(shù)是_______；()ab? ? ?與________互為相反數(shù)． 如果a??，化簡(jiǎn)下列各數(shù)的符號(hào)，并說(shuō)出是正數(shù)還是負(fù)數(shù) ①()a??； ②()a??； ③[ ()]a? ? ?； ④[ ()]a? ? ?； ⑤{ [ ()]}a? ? ? ?； ⑥{ { { { { [ ()]}}}}}a? ? ? ? ? ? ? ? （1）2017?的倒數(shù)是________，2017與________互為負(fù)倒數(shù)． （2）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于它本身，這個(gè)數(shù)是_________；一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于它的相反數(shù)，則這個(gè)數(shù)________． （3）已知a、b為有理數(shù)，在數(shù)軸上如圖所示，則（ ） A．a(chǎn)b????? B．a(chǎn)b??? ?? C．ba??? ?? D．ba???? ? 例題8 例題7 例題6 1?a01b 7 第一講 有理數(shù)的概念 筆 記 區(qū) ——用科技推動(dòng)教育進(jìn)步 （1）2017?的絕對(duì)值是_________，| 2017 |??的相反數(shù)是________，| 2017 |?與________互為倒數(shù)． （2）①絕對(duì)值不大于3的整數(shù)有________； ②絕對(duì)值大于2而小于5的負(fù)整數(shù)是________． （3）①若m、n滿(mǎn)足|| ||=mn?? ? ?? ?，則mn的值等于________； ②| |||xy? ? ??，則xy?________． （4）已知|5|a?，| | 2b?，則||ab?的值是__________． （1）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)（ ） ①()a??表示正數(shù)；②||a一定是正數(shù)，||a?一定是負(fù)數(shù)；③絕對(duì)值等于本身的數(shù)只有兩個(gè)，是0和1；④如果| | | |ab?，則ab?． A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) （2）若x表示有理數(shù)，則||x??一定是（ ） A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù) （3）下列說(shuō)法正確的是（ ） A．若a表示有理數(shù)，則a?表示非正數(shù) B．和為零的兩數(shù)互為相反數(shù) C．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值必是正數(shù) D．若| | | |ab?，則ab? ? ? 例題10 例題9 模塊五 絕對(duì)值 8 初一數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班 筆 記 區(qū) ——用科技推動(dòng)教育進(jìn)步 （1）如果節(jié)約16噸水記作 16噸，則浪費(fèi)6噸水記作__________． （2）在體育課的跳遠(yuǎn)比賽中，以4.00米為標(biāo)準(zhǔn)，若小東跳出了4.22米，可記做 0.22，那么小東跳出了3.85米，記作___________． （3）把下列各數(shù)填入表示它所在的大括號(hào)： .?? ?，3，2.008，????，???，.?? ??&&，0，()? ??，3.14，||? ??． 正有理數(shù)：{ } 非負(fù)整數(shù)：{ } 負(fù)分?jǐn)?shù)：{ } （1）下列說(shuō)法正確的是（ ） A．在有理數(shù)中，零的意義僅僅表示沒(méi)有 B．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù) C．0.5既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，因而它不是有理數(shù) D．零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù) （2）下列說(shuō)法不正確的是（ ） A．絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù) B．倒數(shù)等于本身的數(shù)有2個(gè) C．有理數(shù)可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù) D．兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值越大的數(shù)越大 演練2 演練1 復(fù)習(xí)鞏固 9 第一講 有理數(shù)的概念 筆 記 區(qū) ——用科技推動(dòng)教育進(jìn)步 （1）如圖，表示數(shù)軸正確的是（ ） A． B． C． D． （2）已知點(diǎn)A，點(diǎn)B在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)為??，A、B兩點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)B表示的數(shù)是________． （3）在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù)，并用“<”比較它們的大?。??，??，???，.?? ?，5． （4）已知，ab為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a?，b?，0，1的大小關(guān)系為_(kāi)______________． （1）點(diǎn)A在數(shù)軸上距原點(diǎn)為3個(gè)單位，且位于原點(diǎn)左側(cè)，若將A向右移動(dòng)4個(gè)單位，再向左移動(dòng)2個(gè)單位，這時(shí)A點(diǎn)表示的數(shù)是________． （2）一只小蟲(chóng)在數(shù)軸上先向右爬3個(gè)單位，再向左爬7個(gè)單位，正好停在??的位置，則小蟲(chóng)的起始位置所表示的數(shù)是（ ） A．?? B．4 C．2 D．0 （1）??與________互為相反數(shù)；a???是________的相反數(shù)． （2）()? ??的相反數(shù)是________；b??是________的相反數(shù)． （3）{ [ ()]}? ? ? ?? ?________；{ [ ( )]}? ? ? ??與________互為相反數(shù)． （1）||||xy? ?? ?? ?? ? ?，求xy?________． 021-1-23-2-1120-2-112023-2-110演練6 演練5 演練4 演練3 10ba 10 初一數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班 筆 記 區(qū) ——用科技推動(dòng)教育進(jìn)步 （2）????的倒數(shù)是________，3.75的負(fù)倒數(shù)是___________． （3）給出下面說(shuō)法：①互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等；②一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于本身，這個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)；③若||mm?，則0m?；④若| | | |ab?，則ab?，其中正確的有______．