ln的運算法則及公式(ln的數(shù)學(xué)運算)

72法則

72法則是估算任何增長率影響的一個很好的心算捷徑，從快速的財務(wù)計算到人口估算。 這個公式:

翻倍的時間= 72 /利率

這個公式對于財務(wù)評估和理解復(fù)利的性質(zhì)是有用的。

例子:

在6%的利率下，你的錢需要72/6或12年才能翻倍。

要在10年內(nèi)讓你的錢翻倍，利率是72/10，也就是7.2%。

如果你國家的GDP以每年3%的速度增長，經(jīng)濟會在72/3或24年內(nèi)翻倍。

如果你的增長率下滑到2%，它將在36年內(nèi)翻一番。 如果增長到4%，經(jīng)濟將在18年內(nèi)翻一番。 考慮到科技發(fā)展的速度，縮短你的成長時間可能非常重要。

你也可以用72法則來計算通貨膨脹或利息等費用:

如果通貨膨脹率從2%上升到3%，你的錢將在24年內(nèi)貶值一半，而不是36年。

如果大學(xué)學(xué)費以每年5%的速度增長(這比通貨膨脹快)，學(xué)費將在72/5或14.4年翻一番。 如果你的信用卡支付15%的利息，你所欠的金額將在72/15或4.8年內(nèi)翻倍!

72法則說明了為什么在通脹或GDP擴張中1%的“小”差異會對預(yù)測模型產(chǎn)生巨大影響。

順便說一下，72法則適用于任何增長，包括人口。 你能明白為什么3%的人口增長率對規(guī)劃來說是一個巨大的問題嗎? 而不是需要在36年內(nèi)翻一番，你只有24年，這對于一個國家面對資源消耗，環(huán)境問題都是一個巨大考驗。一個百分點就削減了12年的緩沖時間。

公式的推導(dǎo)

在一定的利率下翻倍需要多長時間。 可參考另一篇與你財富積累有關(guān)的數(shù)學(xué)知識

讓我們從1元開始，因為它很容易使用(確切的值并不重要)。 假設(shè)我們有1元和年利率R，一年后我們有:

1 * (1 R)

例如，在10%的利率下，我們有1元*(1 0.1)= 1.10美元在年底。 2年后，我們會

1 * (1 R) * (1 R)

= 1 * (1 R)^2

在10%的利率下，我們有1 * = 1.21在第2年末。 注意我們第一年掙的那一角錢是如何開始自己賺錢的(一分錢)。 明年，我們創(chuàng)造出另一個一角硬幣，開始為我們制造一分錢，連同第一個一分錢的少量貢獻。 這就是用賺的錢再去賺錢。

這種看似微小的累積增長使復(fù)利變得極其強大——愛因斯坦稱之為宇宙中最強大的力量之一。

年復(fù)一年地延伸，過了N年我們已經(jīng)

1 * (1 R) N ^

現(xiàn)在，我們需要找出翻倍的時間，也就是2元。 這個方程是:

1 * (1 R)^ n = 2

從R%利率到2需要多少年? 不太難，對吧? 讓我們運用數(shù)學(xué)知識，找到N

1 * (1 R)^ n = 2

(1 R)^ n = 2

ln((1 R)^N) = ln(2)[兩邊的自然對數(shù)]

N * ln(1 R) = .693

N * R = .693[當(dāng)R較小時, ln(1 R) ~ R]

N = .693 /R

上面有一個小技巧。 我們用一個近似值來表示ln(1 R) = R。它非常接近-即使在R = .25，近似值也有10%的準確性。 當(dāng)你使用更大的比率，準確性將變得更糟。

現(xiàn)在讓我們稍微整理一下公式。 我們想用R放大100倍，使其為整數(shù)，即假設(shè)利率R=0.03%，則有(r=3)而不是小數(shù)(.03)，即我們在右邊分子和分母都乘以100:

N = 69.3 / r

最后一步:69.3很好，但不容易被除, 它與 72很近，而且72有很多因數(shù)(2、3、4、6、12……)。 所以72法則就是這樣來的。